EDUARDO MARTÍNEZ MARÍN - Matemáticas
Se presenta un estudio de los diversos métodos de
construcción de poliedros, a la vez que se muestra un programa de generación de
zonoedros polares para su construcción mediante la impresión 3D y para su
análisis desde el punto de vista matemático.
En primer lugar se hace un pequeño recorrido histórico de los
poliedros, así como unos conceptos básicos sobre algunas de sus
características. Se diferencian cuatro grandes familias, como son los sólidos
platónicos, los arquimedianos, los de Catalan y los de Kepler-Poinsot. También
se presentan conceptos como la dualidad o el truncado.
A continuación, se detallan los diversos métodos usados para
crear poliedros. En concreto tratamos el desarrollo, el origami modular y el diseño 3d. En el origami modular describimos el doblado de diversos métodos,
haciendo mejoras en algunos de ellos. Se crean figuras con papel como ejemplo.
Además, se detallan dos métodos de creación de zonoedros
polares, explicando los programas creados. El primero de ellos lo denominaremos
método de suma vectorial, puesto que utililiza combinaciones de sumas de los
vectores iniciales para formar el zonoedro polar. El segundo de ellos se basa
en la traslación de un array de vértices, formado por sus coordenadas en cada
anillo, mediante un array de vectores de traslación.
Por último se realiza un análisis geométrico exhaustivo de
los zonoedros polares, consiguiendo conocer su altura, su anchura, los ángulos
de sus caras, cuándo son equifaciales, el número de caras, aristas y vértices,
la superficie y una aproximación de su volumen. De este modo extraemos multitud
de conclusiones, pues la geometría de los zonoedros polares ha sido muy poco
investigada hasta la fecha.
In this
project, we will study different ways of building polyhedra, to later expand
and centre our research in the figure of the polar zonohedra, will be analyzed
from a mathematical point of view.
The research
will first give a historical background and then proceed developing the basic
concepts and their essential characteristics so as to thoroughly understand the
whole Project. The main four families of polyhedra will be described (platonic,
Archimedean, Catalan and Kepler-Poinsot solids), as well as some concepts such
as duality or truncation.
Details will
be provided on the various ways of building polyhedra focusing on the net, the
modular origami and the 3D design. When analyzing modular origami we will look
into the description of the folding steps of some of the methods, making
improvements in some of them. Some examples of paper models will be created.
Also, the
creation of zonohedra with the different software will be explained, detailing
the program created with that purpose. A new method called vectorial addition
method is designed and explained. This method makes different combinations of
sums of the initial vectors necessary to create the polar zonohedron.
To conclude
the research, a mathematical analysis of the polar zonohedra will be done,
undertaken with the purpose of determining their height, thickness, the angles
of their faces, when they are equifacial, the number of faces, vertices and
edges, the surface, and an approximation of their volume. This way we will get
plenty of conclusions, as the geometry of polar zonohedra has not being
investigated up to date.
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