MIGUEL GONZÁLEZ CUENCA - Matemáticas
El desarrollo
decimal de ciertos números irracionales presenta una irregularidad tal que,
aunque sus cifras puedan ser obtenidas mediante un algoritmo y no sean, por
tanto, algorítmicamente aleatorios, no se encuentra una estructura aparente en
las cadenas obtenidas de él. Esto sugiere que, en ciertos casos y mediante
cadenas adecuadas, puedan ser utilizados exitosamente como generadores de
números pseudoaleatorios. Para que el desarrollo decimal de un irracional
presente esta complejidad ha de mostrar, como condición necesaria, una
frecuencia de aparición (en el límite) uniforme a sus dígitos, lo que se conoce
como normalidad. Sin embargo, en ciertos números normales se puede apreciar
fácilmente una estructura en las secuencias finitas de su desarrollo decimal
que comienzan en el origen. En otro caso, como es el del número π, del que se
conjetura que cumple la condición de normalidad, puesto que su desarrollo
decimal se comporta muy irregularmente, se ha encontrado una regularidad muy
sutil que podría indicar una bajada en su complejidad.
A la derecha
se muestran dos series temporales de las secuencias obtenidas a partir del
desarrollo decimal de la constante de Champernowne (arriba) y el número π
(abajo) en sus primeros 100 decimales. Podemos apreciar cómo los valores se
mantienen con unas pautas estables de oscilación alrededor de un valor constante,
lo que sugiere que ambos son procesos estacionarios. A pesar de esto, las
series muestran gran diferencia. Mientras que en el caso de la obtenida a
partir del desarrollo decimal de la constante de Champernowne se aprecia una
estructura anidada altamente incompatible con haber sido generada
aleatoriamente, en la obtenida mediante el desarrollo decimal de π no hay forma
de probar que la secuencia es incompatible con haber sido generada
aleatoriamente.
En la gráfica
inferior se muestra la desviación entre el número de primos en la
reorganización de 788.888.889 decimales de π y el número de primos en el
promedio de los números aleatorios (azul) junto con su desviación típica
positiva y negativa (naranja y amarillo). Podemos apreciar la influencia de la
irregularidad de esta cadena en esta desviación, ya que siempre se mantiene
cerca de los valores típicos. A pesar de los cambios bruscos, la desviación se
mantiene dentro de la anchura de la distribución, dando la impresión de poder
llegar a estabilizarse un poco por encima del cero.
Con las
reorganizaciones de π y de C construímos dos espirales destacando sus
primos en blanco, la espiral de la reorganización de C, que equivale a
la conocida espiral de Ulam, y la espiral de la reorganización del desarrollo
decimal de π (en el fondo). En la espiral obtenida a partir del desarrollo
decimal de π no se aprecia ninguna estructura, aunque sí puede distinguirse una
mayor densidad de puntos blancos en el centro, ya que en el centro los
elementos de esta espiral tienen menor número de dígitos y por lo tanto, una
mayor probabilidad de ser primo. Esta espiral muestra que los primos se
distribuyen uniformemente en posiciones dadas por polinomios de segundo grado,
ya que las filas, columnas y diagonales están dadas por una familia de
polinomios de segundo grado.
A diferencia
de lo que ocurre con la constante de Champernowne (0,1234567891011…) y de la cadena extraída de él, se
ha visto que la complejidad del desarrollo decimal de π se refleja en el número
de primos en la cadena obtenida reorganizando sus decimales, que será similar
al promedio de primos en cadenas generadas mediante números aleatorios. Además,
en el límite, éstos se distribuirán homogéneamente en posiciones dadas por
progresiones aritméticas y por ciertos polinomios de segundo grado.
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